Dieser Text wurde gesetzt mit LATEX2 <1999/12/01> auf TEX 3.14159 (Web2C version 7.3.1) in einer kerning-optimierten Variante des Fonts Computer Modern in der Basisgröße 10 Punkt. Die deutschen Sprachspezifica wurden durch das “german.sty”-Paket 2.5e und die Postscript-Graphiken mit dem “epsfig.sty”-Paket eingebunden. Als Entwicklungsumgebung diente Xemacs 19.16 mit AucTeX 9.7, wobei Xdvik 20.57 zur Vorbetrachtung diente. Das gesamte TEX-Paket war eine leicht modifizierte Variante der teTEX-Distributionis für Linux in der Versioni 1.0.7. Die Rechnerplattform war ein unter Redhat-Linux 5.0, Kernel 2.2.14 laufender Am486.

Die Liniengraphiken wurden mit Xfig 3.1.3 erstellt und im Postscript-Format zur Verfügung gestellt. Der Index wurde mit R.L. Aurbachs IdxTeX 2.1 erzeugt. Die Bibliographie wurde mit Oren Patashniks BibTEX 0.99c mit einem modifizierten “alpha”-Stil erzeugt. Zum Teil wurde die Literatur am Fachinformationszentro Karlsruhe in der Datenbank INSPEC recherchiert, mit Markus Pilzeckers “inspec2bibtex.awk” ins BibTEX-Format konvertiert und mit Gerd Neugebauers BibTool 2.39 nachbereitet.

Die Druckaufbereitung erfolgte mit dvipsk 5.86, Angus Duggans psutils-p17 psbook, psnup und psselect, und Peter L. Deutschs Aladdin Ghostscript 5.10 mit einer Floyd-Steinberg- dithernden Umsetzung auf PCL 5. Der Druck selbst erfolgte auf einem HP-Laserjet 8000N¹ auf Arches Expression Briefpapier natur² .

Die Buchdruckerei Günther Walch, Saarbrücken, unterstützte Auswahl, Beschaffung und Schnitt des Papiers, die Buchbinderei Kittler und Jäger, Saarbrücken, besorgte das Binden.

Alle Verwertungsrechte für diese Arbeit liegen beim Autori. Jede über das Lesen eines der vom Autori selbst verlegten Exemplare hinausgehende Verwertung bedarf dessen schriftlicher Erlaubnis.

Inhalt

1 Prolog
 1.1 Was sind ponderomotorische Kräfte ?
 1.2 Anwendungen
  1.2.1 Inertial-Kernfusion
   1.2.1.1 Instabilitäten
   1.2.1.2 Stand der Technik
 1.3 Ein Blick ins Mikroskopische
2 Metalog
 2.1 Erkenntnistheoretisches
 2.2 Ergonomisches
  2.2.1 Kommunikation
   2.2.1.1 Redundanz
   2.2.1.2 Controlled Language
   2.2.1.3 Konzept-Index
 2.3 Syntaktisches
  2.3.1 Non-Terminal-Symbole
  2.3.2 Reichweite von Vereinbarungen
   2.3.2.1 Vererbung
   2.3.2.2 Gültigkeitsbereich von Variablen
   2.3.2.3 Globale Variablen
  2.3.3 Deklination von Fremdworten
  2.3.4 Formeln
   2.3.4.1 (Klein- und Groß-)schreibung
   2.3.4.2 Indicesund Variablen des Minkowski-Raums
   2.3.4.3 Metrik
   2.3.4.4 Tensores
   2.3.4.5 Dyadische Produkte
   2.3.4.6 Einsteins Summierkonvention
 2.4 Physikalische Einheiten
3 Marktlage
 3.1 Kräfte auf Einzelteilchen
  3.1.1 Kruskal-Littlejohn-Balescu-Weyssow
   3.1.1.1 Historische Wurzeln
   3.1.1.2 Das Verfahren
   3.1.1.3 Kritik
  3.1.2 Bauer-Mulser-Methode der gemittelten Lagrange-Funktion
   3.1.2.1 Vorgehensweise
   3.1.2.2 Kritik
 3.2 Kräfte auf makroskopische Media
  3.2.1 Die Helmholtz-Schule der Makroskopiker
   3.2.1.1 Helmholtz, Panofsky & Phillips, Becker & Sauter
   3.2.1.2 Landau und Lifschitz
  3.2.2 Die Kelvin-Schule der Mikroskopiker
   3.2.2.1 Penfield und Haus
   3.2.2.2 De Groot und Suttorp
4 Praeliminaria
 4.1 Überblick
 4.2 Liminaria
  4.2.1 klassisch oder relativistisch ?
  4.2.2 klassisch oder quantenmechanisch ?
 4.3 Thermodynamische Praeliminaria
  4.3.1 Ensemble-Mittelung
   4.3.1.1 Additiones
   4.3.1.2 Skalar-Multiplikationes
   4.3.1.3 Differentiationes
   4.3.1.4 Reduzierte Verteilungsfunktiones, Korrelationes
 4.4 Kontinuum-mechanische Praeliminaria
  4.4.1 die Kraft auf das Innere eines Volumenelementi
  4.4.2 der Kraft-Anteil auf die Oberfläche eines Volumenelementi
  4.4.3 Granulare Media
   4.4.3.1 Die Kinderschaufel
   4.4.3.2 Die Guillotine
  4.4.4 Beispiel: elektrische Kräfte auf ein Multipol-Fluidum
   4.4.4.1 Die Kinderschaufel
   4.4.4.2 Die Guillotine
  4.4.5 Die Wahl der Systemgrenzen
   4.4.5.1 Volumenkräfte
   4.4.5.2 Oberflächenkräfte
5 Felder
 5.1 Die Maxwell-Gleichungen
  5.1.1 mikroskopisch
  5.1.2 atomar
  5.1.3 makroskopisch
 5.2 Das [wirksame] Feld im Medio
  5.2.1 Ein Beispiel: der Plattenkondensator
  5.2.2 Ladungsanhäufungen
   5.2.2.1 Abschirmung
  5.2.3 am Orte eines Ladungsklumpens
   5.2.3.1 Clausius-Mosotti
   5.2.3.2 Lorenz-Lorentz
6 Kräfte
 6.1 Ein kleines Beispiel: der Dipol
 6.2 mikroskopisch
 6.3 atomar
  6.3.1 Anteil vermöge des externen Feldes
  6.3.2 Anteil vermöge der Felder der Nachbaratome
  6.3.3 Reichweite
   6.3.3.1 kurzreichweitige Kräfte
   6.3.3.2 langreichweitige Kräfte
  6.3.4 Kraftdichte auf ein Ensemble von Atomen
   6.3.4.1 Lorentz-Kelvin-Anteil auf den Atom-Strom
   6.3.4.2 Lorentz-Kelvin-Anteil auf intra-atomare Ströme
   6.3.4.3 Totum Virium
 6.4 makroskopisch
  6.4.1 Die Massenbilanz
  6.4.2 Die Impulsbilanz
 6.5 Mediamit P = P(E)
  6.5.1 Eine diskret-kontinu¨ierliche CM-Verallgemeinerung
  6.5.2 Das “wirksame” Feld am Ort eines Atoms
   6.5.2.1 Beitrag der Horizont-Oberfläche
   6.5.2.2 Fall lokal kugel[i.e. SO(3)]-symmetrischer Mediorum
 6.6 Die Kraftdichte im Clausius-Mosotti-Fall
7 Historische “Kraft-Ausdrücke”
 7.1 Die Kelvin-Kraft
 7.2 Die Helmholtz-Kraft
  7.2.1 Klassische Herleitung (gemäß der Becker’schen Überarbeitung)
  7.2.2 Nicht ganz so klassische Herleitung (á la Landau)
   7.2.2.1 Der Spannungstensor
   7.2.2.2 Die Kraftdichte
8 Identität von Kelvin-Kraft und Helmholtz-Kraft
9 Swinging Landau
 9.1 Innere Energie
  9.1.1 Der getriebene Dipol-Oszillator
  9.1.2 Ein Ensemble getriebener Multipol-Oszillatorumim Clausius-Mosotti-Fall
   9.1.2.1 Energiebilanz beim Öffnen einer einzigen Schraubzwinge
   9.1.2.2 Energiebilanz beim Öffnen aller Schraubzwingen
 9.2 Landau revisited
  9.2.1 Termini(.1)+(.1)
  9.2.2 Termini(.2)+(.3)
  9.2.3 Term (.1)
  9.2.4 Termini(.2)+(.2)
  9.2.5 Term (.3)
  9.2.6 Term (.3)
  9.2.7 Term ()
  9.2.8 Der Spannungstensor
  9.2.9 Die Kraftdichte
10 Epilog
 10.1 Das Lager der Mikroskopiker
 10.2 Das Lager der Makroskopiker
 10.3 Eine Brücke
 10.4 Eine Krücke
A Linguistische Ergänzung
 A.1 Arithmetischer Ausdruck
B Mathematische Ergänzungen
 B.1 Beweis zu Satz
  B.1.1 n = 0
  B.1.2 n n + 1
   B.1.2.1 Drei kleine Helferlein
   B.1.2.2 Garbage Annihilation
   B.1.2.3 Finale
C Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik
 C.1 Symmetrien
Literatur

Zusicherung

Diese Arbeit ist das geistige Produkt des Autoris und ausschließlich mit zulässigen Mitteln erstellt.

Ehrerbietungen

Trotzdem hat natürlich vieles zum Entstehen dieser Arbeit beigetragen. Insbesondere haben einige meiner Mitmenschen mehr oder weniger direkt diese Arbeit gefördert und befruchtet, wofür hier gedankt sei:

• meinen Eltern für die Grundsteine zu meiner Persönlichkeit und für die materielle Unterstützung
• meinem Freundeskreis allgemein für den Antrieb und die Kritik und insbesondere Stefan Trcek für viele fruchtbare Diskussiones und das Korrekturlesen
• den vielen von der Idee der freien Software beseelten Softwerkern, ohne deren Einsatz und deren Produkte diese Arbeit in vielerlei Hinsicht erheblich mühevoller gewesen wäre
• allen Streitern für ein freies Netz
• den Vordenkern
  • Noam Chomsky für sein Zusammenführen von Linguistik und Mathematik und für das Vorbild als politischer Intellektueller
  • Niklaus Wirth und Bertrand Meyer für ihren Protagonismum beim Entwurf von Formalsprachen
  • Donald Knuth für seine Inspirationem zum Fontdesign und Textsatz
  • Kurt Tucholsky und Ernst Jandl für die Einsicht, daß Sprache mehr ist
  • Albert Einstein, Hermann Weyl, Johann von Neumann, P.A.M. Dirac und den in der Bibliographie genannten Autoribus, insbesondere Hermann Ludwig von Helmholtz, Lew Davidowitsch Landau und Sybren Ruurds de Groot für ihren Pragmatismum und die Grazie in der Physik
• Prof. Dr. Peter Mulser für seinen gesamtheitlicheren Blick auf die Physik, für die durch seine sorgfältig vorbereiteten Vorlesungen geweckte Neugier auf dieses Forschungsgebiet, für viele Diskussiones am Detail und nicht zuletzt seine Geduld

.

Kapitel 1
Prolog

1.1 Was sind ponderomotorische Kräfte ?

Bringt man [geladene Teilchen enthaltende] Materie mit elektromagnetischer Strahlung [, z.B. Licht] zur Wechselwirkung, dann beobachtet man makroskopisch und säkular das folgende Phänomen:
Licht und Materie tauschen Impuls aus¹. Die Kraft, die die Materie auf die elektromagnetische Strahlung ausübt, ist proportional dem Intensitäts-Gradienten der Strahlung und zeigt auch in dessen Richtung [Kib66]. Die Reactio auf die Materie zeigt natürlich genau in die entgegengesetzte Richtung.

Im Frequenzbereich sichtbaren Lichtes werden ponderomotorische Kräfte etwa ab Intensitäten von 10¹² relevant. Diese Intensitäten werden von modernen Hochleistungs- Lasern um mittlerweile bis zu acht Zehner-Potenzen überschritten. Das Handhaben von Intensitäten um 10¹⁹ gehört für viele Forschergruppen schon zum Alltag. Insbesondere die Erkenntnis, daß ponderomotorische Kräfte schon bei Wellenzügen von wenigen² Wellenlängen auftreten, ermöglichte es, Experimente erfolgreich mit Lasern durchzuführen, deren Leistungsdichte durch Verkürzen der Pulsdauer erhöht wurde.

1.2 Anwendungen

1.2.1 Inertial-Kernfusion

Eine große Triebkraft, die Erforschung ponderomotorischer Kräfte voranzutreiben, ist die Inertial- Kernfusion, von der man erwartet, daß sie ergiebiger und sauberer einen Beitrag zur Energieversorgung liefern kann als die umstrittene Kernspaltung.

Hier zielt man darauf ab, ein kleines wasserstoffhaltiges Target durch allseitiges Beleuchten mit hoher Intensität soweit komprimieren und gleichzeitig aufheizen³ zu können, daß eine Kernfusion zündet.

1.2.1.1 Instabilitäten

Die ernüchternden Ergebnisse der ersten na¨iven Experimente, das Target konzentrisch mit mehreren Laser-Teil-Strahlen zu beschießen, zeigten schnell, daß die Natur vor die erfolgreiche Inertial- Kernfusion das tiefe Verstehen einer ganzen bunten Palette von Instabilitäts-Phänomenen gestellt hat.

Zu den Instabilitäten, bei deren Zustandekommen ponderomotorische Kräfte eine wesentliche Rolle spielen, gehören die

Filamentation,

bei der transversale Intensitätsschwankungen sich immer mehr aufsteilen

die stimulierte Raman-Streuung,

bei der die einfallende Lichtwelle in eine Elektron- Plasma-Welle und eine gestreute Lichtwelle zerlegt wird

die stimulierte Brillouin-Streuung,

bei der die einfallende Lichtwelle in eine ionenakustische Welle und eine gestreute Lichtwelle zerlegt wird

.

Von diesen dreien sei im Rahmen dieses einleitenden Appetit-Happens folgend nur die wohl am leichtesten verständliche Filamentation näher dargestellt:

Filamentation Die Tatsache, daß ein Laserstrahl über seinen Querschnitt Intensitätsschwankungen aufweist - meist sogar mit mehreren lokalen Maximis und Minimis - führt beim Durchgang eines solchen Strahles sehr hoher Intensität durch Materie zum Aufbrechen dieses Strahles in mehrere Filamente. Das rührt daher, daß der Intensitäts-Gradient rund um ein lokales Maximum aus allen Richtungen radial auf dieses Maximum zeigt, d.h. die Materie drückt aus allen Richtungen radial auf das in diesem Maximo gefangene Licht und schnürt es weiter ein. Das Maximum wird noch größer, der Gradient noch steiler und so fort ... . Im Gegenzug wird natürlich die Materie aus dem entstandenen hoch-intensiven Filament verdrängt. Aus dem Gesagten ist klar, daß Filamentation eine der großen Alltags-Herausforderungen an jeden Hochleistungs- Laser-(Betreiber bzw. Bauer) darstellt, denn jede noch so kleine radiale Schwankung der Intensität⁴ steilt sich von einer optischen Komponente zur nächsten immer weiter auf und führt, wenn sie nicht schon in ausreichend frühem Stadio den Laser verlassen und das [“rettende”] Target erreicht hat, zu erheblichen Schäden an der Apparatur.

Abbildung 1.1: 300-ps Puls eines 1.05m Lasers mit einer Intensität von etwa 8 × 1014W/cm2 erzeugt ein Filament, [Ld96a].

1.2.1.2 Stand der Technik

Als möglicher Ausweg, der verspricht, viele der angedeuteten Probleme gleichzeitig beherrschbar zu machen, erscheint zur Zeit, ein kugelförmiges Target in einen konzentrischen “Ofen” zu plazieren und es dort mit sekundärer Röntgen-Hohlraum-Strahlung gleichzeitig aufzuheizen und zu komprimieren. “Sekundär” heißt hier, daß man die innere Ofen-Oberfläche mit Laserlicht bestrahlt, wobei sich diese soweit aufheizt, daß sie thermische Röntgen-Strahlung emittiert, die den Hohlraum des Ofens dann sehr homogen und isotrop erfüllt. Dabei werden sowohl die Absorption wesentlich verbessert⁵ als auch die Schwankungen der Beleuchtungs-Intensität auf ein Maß reduziert, das mit direkter Laser-Bestrahlung des Targets kaum zu erreichen wäre und Voraussetzung dafür ist, daß man nicht an Rayleigh-Taylor-Instabilitäten und Filamentations-Phänomenen scheitert.

Nach einleitend Gesagtem wäre man nun vielleicht versucht, zu vermuten, daß der longitudinale Intensitätsgradient des Lichtes vom Target weg, dieses komprimiert⁶. Es hat sich aber erwiesen, daß nicht ponderomotorische Kräfte selbst den entscheidenden Anteil liefern, der das Target komprimiert, sondern vielmehr der Ablationsdruck.

1.3 Ein Blick ins Mikroskopische

Bevor wir uns in der eigentlichen Arbeit darauf stürzen, ponderomotorische Kräfte genauer zu berechnen, möchte ich noch an einem einfachen Beispiel im Detail aufzeigen, wie ponderomotorische Kräfte zustande kommen.

Dazu betrachten wir ein geladenes Teilchen, das sich gerade in einer sich von links nach rechts [in y-Richtung] ausbreitenden, linear polarisierten elektromagnetischen Welle befindet.

Abbildung 1.2: Bahn eines geladenen Teilchens in einer von links kommenden, linear polarisierten elektromagnetischen Welle, deren Intensität von rechts nach links (bzw. mit der Zeit) linear zunimmt Der Betrachtungswinkel liegt 65o oberhalb der (x-y)-Ebene und -10o zur x-Achse.

Da das Teilchen unter diesen Umständen eine ebene Bahn in z = 0 beschreibt, wurde in Abbildung 1.2 die redundante z-Koordinate zugunsten der Darstellung des zeitlichen Verlaufs (t-Koordinate) unterdrückt, d.h. der magnetische Anteil des Feldes liegt parallel zur t-Achse.

Man sieht, daß die Teilchenbahn aus einer einer säkularen [raumzeitlichen] Parabel überlagerten hochfrequenten liegenden Acht besteht. In anderen Fällen, wie der longitudinalen Plasmawelle oder der linear polarisierten stehenden Welle, nimmt der hochfrequente Anteil der Trajektorie eine andere Form an (gerade Strecke bzw. Sichel) - ohne daß sich am Phänomen der säkularen Beschleunigung etwas ändern würde. In jedem Falle “sammelt” das Teilchen in den Passagen der Bahn, die durch Gebiet schwächeren Feldes laufen, weniger Impuls in der einen Richtung, als es im Gebiet stärkeren Feldes [also Gradient aufwärts] in der anderen Richtung erfährt. Bei jedem Durchlauf akkumuliert sich so immer mehr Impuls, der das Oszillationszentrum des Teilchens in seine Richtung zieht.

Kapitel 2
Metalog

2.1 Erkenntnistheoretisches

Wir kennen alle die beiden großen Epochen wissenschaftlichen Tuns:

• die griechische Klassik der argumentativen Wissenschaft “im Elfenbeinturm”,
• die “moderne”, post-galile¨ische Art zu wissenschafteln, bei der der Folgerungsraum postulierter Theorien sich mit seiner der Realität zugewandten Oberfläche beständig an dieser messen lassen muß 

. Die Siege der großen Revolutionum der Naturwissenschaft waren immer Siege des Pragmatismi:

• Galileo Galile¨i hat der Theorie die Prüfung an der Realität verordnet,
• Einstein hat die Zeitmessung am Machbaren orientiert,
• die Quantenmechaniker hatten ein Einsehen in die Grenzen des Meßprozesses, wenn die Systeme klein werden

. Auch wenn diese Realitäts-Zugewandtheit die großen Fortschritte geebnet hat, hat doch der aristotelische Standpunkt nie gänzlich an Bedeutung verloren. Er wirkt nur heute in zweierlei Hinsicht im Hintergrund weiter:

• als Baustein-Kasten á la Lego hilft er dem Wissenschaftler, neue Theorien zu gebären,
• als stetig ordnendes Moment, das kraft tiefergehenden Einsehens danach trachtet, die vorhandenen Theorien zu verschlanken¹, ist er der große Ökonom in der Wirtschaft der Wissenschaft

.

Hiesige Arbeit trägt wesentlich die Züge des ordnenden Momenti: sie erklärt einige Bezüge zwischen Inseln bisheriger Erkenntnis und sie zelebriert die Tauglichkeit eines Teils unseres Werkzeugkastens zu diesem Behufe.

2.2 Ergonomisches

2.2.1 Kommunikation

Ein durchaus nennenswerter Teil wissenschaftlicher Arbeit besteht darin, bereits in verschiedenen Veröffentlichungen publizierte Kenntnis zusammenzutragen, zu verstehen und zu filtern. Die Prozesse des Verstehens und des Filterns machen es notwendig, sich mit verschiedenen Sicht- und oft uneinheitlichen Darstellungsweisen auseinanderzusetzen. Hat dies auch oft ein kreatives Moment, so wiegt dennoch, gerade bei Stoff, der schon weitgehend seine Reife gefunden hat, die Last des Unhandlichen manchmal schwer.

2.2.1.1 Redundanz

Auch diese Arbeit enthält deshalb vieles, das in der einen oder anderen Form bereits an anderer Stelle veröffentlicht wurde. Dem Leser die Last des Zusammentragens und des Unergonomischen der verschiedenen Darstellungen zu nehmen, rechtfertigt hoffentlich die unvermeidlich damit einhergehende noch weiter wachsende Redundanz in der Flut veröffentlichten Papiers.

2.2.1.2 Controlled Language

Aus der Erkenntnis, daß sprachliche Polymorphie technische Kommunikation eher erschwert, erwuchs das Ansinnen, die Sprache dieser Arbeit einer technischen, in ferner Zukunft vielleicht sogar automatisch parsbaren, einige zaghafte Schritte näher zu bringen. Voraussetzung, damit eine Sprache die gehörige Akzeptanz der Community einer Domäne findet, ist ihre Performanz, d.h. ihre Fähigkeit, möglichst alles Denkbare dieser Domäne artikulieren zu können. Die im nächsten Abschnitt diskutierte Tensorschreibweise als eine der explizitesten verfügbaren Schreibweisen für Elementa linearer Räume mag hierfür ein Beispiel sein. Zwei weitere Symptome, die hier zu finden sein werden, sind die den Chomsky-Typ3-Sprachen entlehnten, zu Beginn von Unterkapitel 2.3 genannten Elementa, die einige Meta-Konstruktiones der deutschen Sprache explizit machen, sowie die der Unterkapitel-Hierarchie untergeordneten Deklarationes verwendeter Formelzeichen².

Tensorschreibweise Statt der eher aus der Mathematik gewohnten indexlosen Vektorschreibweise wird hier ausschließlich die sonst [z.B.] in der Differentialgeometrie und Relativitätstheorie übliche [Koordinaten-]Index- Schreibweise zelebriert. Damit wird das schlanke Erscheinungsbild ersteren Notierstils der präziseren, aber leider unübersichtlicheren Darstellung geopfert. Allerdings lehrt die Erfahrung, daß Übersichtlichkeit ein stark der Seh-Erfahrung auf jeweiligem Terrain assozi¨iertes Phänomen darstellt³. Ich hoffe, das relativiert den Tribut an die Genauigkeit. Der Preis, den die Community in Form z.B. jahrzehnte-währender Diskussionis um das richtige Verjüngen im Kelvin’schen Ausdruck für die ponderomotorische Kraft gezahlt hat, erscheint mir ein ungleich höherer.

2.2.1.3 Konzept-Index

Der Begriffs-Index am Ende der Arbeit versucht, alle wichtigen Nominal-Phrasen, die der Text anführt, zu katalogisieren. Die [wichtigeren der] einzelnen Worte jeder aufgenommenen Nominalphrase werden im Index wiederum permutiert, um sie in der Sortierung an die Pole- Positition zu manövrieren. Dadurch soll dem Text auch der selektive Zugang - quasi mit der Lupe - eröffnet werden.

2.3 Syntaktisches

2.3.1 Non-Terminal-Symbole

Global bezüglich des gesamten Dokumentes gelten die folgenden syntaktischen

( )	- eingeklammerter Ausdruck wird zuerst ausgewertet,
	- Argumentliste einer Funktionis
[]	- expandiert zu (0- bis 1-)mal dem eingeklammerten String,
	- aber per Konventionem sind auch Literatur-Referenzen so notiert
{ }	expandiert zu (0- bis n IN-)mal dem eingeklammerten String
|	Alternative
()	Kommentarklammern

2.3.2 Reichweite von Vereinbarungen

2.3.2.1 Vererbung

Für eine bestimmte Text-Entität gültige Vereinbarungen werden zu deren Beginn getroffen. Sie werden an alle Sub-Entitäten ererbt, können dort aber lokal überlagert werden.

2.3.2.2 Gültigkeitsbereich von Variablen

In Bezug auf Variablen bedeutet das, daß diese stets zu Beginn eines Kapitels, Unterkapitels, ... vereinbart werden und lokal zu diesem gelten.

Ein Index, über den der durch ihn indizierte Term summiert wird, ist eine zu diesem Termino lokale Variable. Ein gleichnamiger Index in einem Bruder-Termino[, d.h. einem Termino, der im Ableitungsbaum⁴ [des Ausdrucks] auf gleicher Höhe steht] ist eine völlig autarke Größe.

2.3.2.3 Globale Variablen

Der mit Vorgesagtem angemessene Ort für die Deklarationem zum gesamten Dokument globaler Variablen hätte übergeordnet zur gesamten Kapitelstruktur ganz zu Beginn liegen müssen. Den ohne hiesige Kenntnis unbedarften Leser hätten wir dort aber sicher irritiert.

Deshalb deklarieren wir nun hier global für das gesamte Dokument folgende

() :	Dirac’sche Deltafunktion
ijk :	total-antimetrischer Tensor dritter Stufe
t :	Zeit50
R :	Ort
:	Winkelfrequenz
c :	Lichtgeschwindigkeit5
h :	Planck’sches Wirkungsquantum
0 :	Konstante der dielektrischen Suszeptibilität des Vakui
0 :	Konstante der magnetischen Suszeptibilität des Vakui
e :	Elementarladung50
E :	makroskopisches elektrisches Feld
B :	makroskopisches magnetisches Feld
D :	makroskopische dielektrische Verschiebung
H :	makroskopische magnetische Induktion
P :	makroskopische freie Ladungsdichte
J :	makroskopische freie Stromdichte
P :	makroskopische Polarisation
M :	makroskopische Magnetisierung
:
:
:
:
:

2.3.3 Deklination von Fremdworten

Substantivisch auftretende Fremdworte sind entsprechend ihrem aktuellen Kasui dekliniert⁶.

Dieses Vorgehen ist als Experiment zu verstehen und möge zu eigenen kritischen Gedanken den Gebrauch von Fremdworten betreffend anregen. Eine vorläufig rückblickende Kritik des Autoris hierzu findet sich im Epilog.

2.3.4 Formeln

2.3.4.1 (Klein- und Groß-)schreibung

Sofern beide im Verlaufe der Darstellung auftreten, sind “Vakuum”-Größen klein und hydrodynamische [d.h. ensemble-gemittelte] Größen groß gesetzt. Sonst wurden zugunsten der Lesbarkeit in der Szene etablierte Schreibweisen beibehalten.

2.3.4.2 Indices und Variablen des Minkowski-Raums

Zeit-räumliche Größen werden als Elementa eines Minkowski-Raumes behandelt, dessen 0-te Koordinate die zeitliche ist und dessen räumliche Koordinaten mit 1, 2 und 3 numeriert sind.

Mit griechischen Buchstaben sind Indices über der Grundmenge {0, 1, 2, 3} notiert, d.h. damit werden alle Minkowski-Koordinaten durchgezählt. Mit lateinischen Buchstaben sind Indices über der Grundmenge {1, 2, 3} notiert, d.h. daß damit nur die Raumkoordinaten indiziert sind.

Die Zeit-Koordinate des Minkowski-Raums wird auf Längeneinheiten abgebildet, indem die Laborzeit t mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert wird. Demzufolge ersetzt ₀ := die partielle Ableitung nach der Zeit und analog d₀ := die totale. Wird eine Größe x nach der [so “vereinheitlichten”] Zeit-Koordinate abgeleitet, dann werden wir meistens die in der Differentialgeometrie übliche Schreibweise

2.3.4.3 Metrik

Die Metrik ist

.

2.3.4.4 Tensores

als Ganzes schreiben wir mit einfachen lateinischen Buchstaben.

Tensorkomponenten werden, wie üblich

Komponenten eines Tensoris T, dessen Stufe n Gegenstand einer Parametrierung ist, notieren wir

.

Sind von den Komponenten eines Tensoris T (l + n)-ter Stufe l Stufen konkret vorgegeben und die weiteren n Stufen nur der Anzahl der Stufen nach spezifiziert, dann notieren wir

.

2.3.4.5 Dyadische Produkte

Existiert im aktuellen Scope bereits ein Vektor r, dann sei unter dem n-stufigen Tensori 

2.3.4.6 Einsteins Summierkonvention

Tritt in einem Termino ein Index sowohl als oberer als auch als unterer auf, so ist dieser Term über die Grundmenge dieses Indicis zu summieren auch ohne daß die Summe explizit notiert wird. So ist das verjüngende Produkt ST zweier Tensorum S und T definiert als

.

Im Falle zweier Tensorum S und T nicht a priori festgelegter Stufe n ((2.4a)), ist über alle möglichen Permutationes der n Indicum zu summieren:

.

2.4 Physikalische Einheiten

implementieren ein Konzept abstrakter Datentypen in der Physik.

Dabei wird jedem Potenzprodukt sogenannter Basis-Einheiten ein eigener Datentyp zugeordnet. Es existieren für jeden Datentyp Methoden mit den Namen der üblichen mathematischen Operatorum, die für jede mögliche Kombinationem mit anderen Datentypen den Ergebnistyp festlegen. So kann bereits mit syntaktischen Mitteln entschieden werden, ob ein gegebener Algorithmus typkonsistent ist.

Im gesamten Dokument werden die physikalischen Größen in MKSA-Einheiten dargestellt.

Diese Wahl hat folgende Gründe:

• Mit der gegenüber den cgs-Einheiten zusätzlichen Einheit für den elektrischen Strom wird das Typkonzept rigider.
• Die Typen werden feiner granuliert, was eine strengere Konsistenz-Prüfung von Algorithmen auf rein syntaktischer Basis ermöglicht.

Kapitel 3
Marktlage

Es soll hier nicht versucht werden, den zahlreichen Übersichten über in der Vergangenheit versuchte Ansätze zum Thema ponderomotorische Kräfte eine weitere hinzuzufügen, die ihrer Aufgabe im gegebenen Rahmen nicht gerecht werden könnte. Stattdessen sei auf die verhältnismäßig ausführliche [und noch einigermaßen aktuelle] Arbeit von Kentwell und Jones [KJ87] verwiesen. Aus heutiger Sicht bedarf diese jedoch meines Erachtens noch einer Ergänzung um vier Ansätze, die folgend kurz skizziert seien:

3.1 Kräfte auf Einzelteilchen

3.1.1 Kruskal-Littlejohn-Balescu-Weyssow

In der Kentwellschen Systematik unter die Einzelteilchen- und Lie-Transformations-Formulierungen (dort Abschnitt 6.2) einzureihen ist ein Verfahren, das Balescu und Weyssow in verschiedenen Veröffentlichungen [BW86], [BW87], [BW88] dargelegt haben.

3.1.1.1 Historische Wurzeln

Eine Grundlage dieses Verfahrens bildet die Theorie der Lie-Gruppen und - Algebren^1,2, die in Ansätzen schon Hermann Weyl Anfang der dreißiger Jahre [Wey31] ins Blickfeld der Physiker befördert hat. Nachdem Dirac 1949 [Dir49] noch einmal ihre Bedeutung hervorhob, trat sie schließlich zusehends ihren Siegeszug in physikalische Theorien an. Balescu hat daran in der Traditioni der Arbeiten von z.B. Currie, Jordan und Sudarshan 1963, [CJS63], Currie [Cur63], zusammen mit Kotera [BK67] und Piña [BKP67],..., mitgewirkt. Dieses Wirken gipfelt in seinem 1988 veröffentlichten Buch “Transport Processes in Plasmas” [Bal88], in dem er die bzgl. beinahe- periodischer Teilchentrajektorien wegweisende Arbeit Kruskals [Kru62] mit dem [Anti-]Dogma Littlejohns [Lit83a], [Lit83b], Transformationes von Phasenraum-Koordinaten nicht auf kanonische zu beschränken, integrierte.

3.1.1.2 Das Verfahren

In Zusammenarbeit mit Weyssow entstanden hierbei die drei oben zitierten Arbeiten, deren letzte beiden die Bewegung eines Teilchens in einer sich raumzeitlich nicht allzu schnell ändernden elektromagnetischen Welle störungstheoretisch beschreiben (letztere bei zusätzlich eingeschaltetem “statischen” B-Feld).

Bei der Separationi von nieder- und hoch-frequentem Bewegungsanteil des in einer in Amplitudine und Frequenz langsam veränderlichen elektromagnetischen Welle befindlichen geladenen Teilchens folgt man den Spuren Kruskals und transformiert auf ein Koordinatensystem in dem die Phase des hochfrequenten Bewegungsanteils als selbständige Koordinate auftritt. Man kann dann zeigen, daß die die Dynamik beschreibenden Lie-Klammern auf der langsamen Zeitskalanicht von dieser Phase abhängen und hat sich so des hochfrequenten Anteils der Bewegung entledigt.

3.1.1.3 Kritik

m :	Masse des oszillierenden Teilchens
q :	Ladung des oszillierenden Teilchens
:	relativistischer metrischer Faktor (1 - (v/c)2)-
:
:
:
:
:

(3.1)

• kommt man mit -1 in die Nähe von 1, dann wird die Konvergenz zusehends schlechter,
• als Störungstheorie hat man einen hohen “handwerklichen” analytischen Aufwand zu absolvieren, obgleich in diesem Falle in einer ästhetisch überaus befriedigenden Form, die außerdem gut als symbolischer Algorithmus (z.B. in Reduce oder Mathematica) implementierbar ist

. Auch wenn die Reichweite der Aussage bei den von Weyssow angegangenen speziellen Problemen etwas hinter dem Möglichen (siehe die folgende Beschreibung des Bauerschen Ansatzes) zurückbleibt, ist doch zu bemerken, daß das Vorgehen an sich aus erkenntnistheoretischer Sicht nahezu kanonisch erscheint. Anhang C erläutert dies etwas präziser.

3.1.2 Bauer-Mulser-Methode der gemittelten Lagrange-Funktion

3.1.2.1 Vorgehensweise

Das zentrale Thema der Diplom-Arbeit Dieter Bauers [Bau95] ist die Tragweite der Adiabasie- Vermutung.

Er lotete in einem experimentellen Teil mittels numerischer Simulationis des geladenen Teilchens in der elektromagnetischen Welle aus, in welchem Parameterbereich noch befriedigende Übereinstimmung mit auf der Unterstellung beinahe-periodischer Bahnen basierenden analytischen Rechnungen zu erzielen ist.

Der große theoretische Wurf ist die konsistente Beschreibung der Dynamik des Oszillationszentri aus der Kenntnis der Dynamik des Teilchens im Rahmen des Lagrangeschen Dynamik-Paradigmas. Der entscheidende Satz leitet aus der Lagrange-Funktioni für das Teilchen eine [“gemittelte”] für das Oszillationszentrum her.

Sowohl die [computer-]experimentellen Ergebnisse als auch die theoretische Stabilitäts- Analyse zeigen, daß die die bekannten Herleitungen stützende Voraussetzung der beinahe- periodischen Bahn oberhalb eines Werts des Parameters := von etwa 0.3 bis 0.7 versagt.

3.1.2.2 Kritik

Selbst wenn störungstheoretische Ansätze bis zu den Weihen der Weyssow-Balescu-schen Arbeiten gelangen, bedingt doch der störungs-rechnerische Aspekt eine Komplexität, die beginnt schwer kommunizierbar zu werden. Die Last zweier Drittel dieser Komplexität hat Dieter Bauer für alle Zukunft von den Schultern der Community genommen.³

Jede an Präzision darüberhinausgehende Kenntnis des Verhaltens des Einzelteilchens wird wohl nur über ein weiteres Einbringen von Kenntnis über konkrete Bedingungen eines Einzelfalls zu erzielen sein - sicherlich wird sich dabei auch ein gewisses Einbringen neuer handwerklicher Komplexität nicht vermeiden lassen.

3.2 Kräfte auf makroskopische Media

3.2.1 Die Helmholtz-Schule der Makroskopiker

Helmholtz verfertigte bereits 1881 [Hel81], aufbauend auf Veröffentlichungen Thomsons und Maxwells [Max73], §§104..107 eine Arbeit, in der er die Kräfte des elektrischen und magnetischen Feldes auf die makroskopische Materie berechnete - in einer mit heutiger Denke leider recht mühsam verständlichen Form. Wir werden weiter unten sehen, daß sein Ausdruck vor dem Hintergrund des Wissens um den “richtigen” thermodynamischen Druck nach wie vor korrekt ist.

Helmholtzs Arbeit hat im Laufe der Jahrzehnte manche Überarbeitung in der Darstellung erfahren, so daß sie heute wesentlich leichter lesbar ist. Die klarsten⁴ [mir bekannten] Darstellungen wurden von Panofsky und Phillips [PP55], Kap. 6-6, sowie Becker und Sauter [BS69a], §35 und, mit etwas anderem Ansatz, von Landau und Lifschitz [LL85], §15 ff. gegeben:

3.2.1.1 Helmholtz, Panofsky & Phillips, Becker & Sauter

In diesen Werken wird die Bewegung eines dielektrischen Fluidi in einer Anordnung raumfester Leiter untersucht. Die Änderung der Gesamtenergie der Anordnung bei diesem Prozeß wird betrachtet als Volumenintegral über einerseits das Produkt aus der [unbekannten] lokalen Kraftdichte mit der dortigen Verschiebung des Dielektriki und andererseits die Änderung der Energiedichte des Feldes. Die lokale Verschiebung steht über die Massenerhaltung in Beziehung zur materiellen Dichte. Durch Vergleich sich entsprechender Terminorum erhält man schließlich die Kraftdichte in Abhängigkeit von Änderungen der Felder, der materiellen Dichte und der Suszeptibilitäten.

3.2.1.2 Landau und Lifschitz

Der Weg, den Landau & Lifschitz in [LL85], §15 ff. beschreiten, führt über die Änderung der Dichte der freien Energie bei einer infinitesimalen Scher-Dehnung eines Volumenelementi mit der Randbedingung eines konstanten Potentials an den zur Dehnungsrichtung senkrechten Oberflächen.

Will man diese Anordnung eines Volumenelementi tatsächlich aufbauen, so muß man, soll die Potentialdifferenz der beiden gegenüberliegenden Seiten konstant bleiben, der Ladung, die diese Potentialdifferenz erzeugt, ein Abfließen bei konstanter Spannung, d.h. mit Kopplung an ein Ladungsbad, ermöglichen. Die bei diesem Vorgang durch die abfließende Ladung an der Umgebung (dem Ladungsbad) geleistete Arbeit W = U q ist natürlich in der Energiebilanz zu berücksichtigen, hier durch Rechnen mit einer Energiedichte, die nicht nur bezügl. der Wärme, sondern auch der Ladung frei ist.

3.2.2 Die Kelvin-Schule der Mikroskopiker

3.2.2.1 Penfield und Haus

Wesentlicher Punkt in Penfield’s und Haus’⁵ “Electrodynamics of Moving Media”, [PH67], ist das Herausarbeiten der Bedeutung einer konsistenten Aufteilung eines abgeschlossenen Gesamtsystems in Teilsysteme, wenn kontinuum-mechanische Fragestellungen anstehen.

Historie Ausgangspunkt war ihre Unzufriedenheit mit dem nicht-enden-wollenden Zustand der Publikations- Praxis, daß anscheinend widersprüchliche Ausdrücke für dieselben Phänomene oft nur nach längerem Gelehrten-Streit zu identifizieren waren.

Abgeschlossene Teilsysteme bieten ihrer [nachvollziehbaren] Auffassung nach ein geeignetes Mittel, die Vielzahl der möglichen Darstellungen zu kanonisieren. Gleichzeitig geben sie ein zusätzliches Instrument zur Konsistenz- Prüfung zur Hand:

Das Prinzip der virtuellen Leistung ist der von ihnen entwickelte Algorithmus, den sie zur konsistenten Konstruktioni der Subsysteme eines abgeschlossenen Systems nahelegen:

Für jedes nicht-abgeschlossene Teilsystem:

• Definieren einer Energiedichte
  
• Ausdrücken von (3.2a) in Terminis des tangentialen Bezugssystems
• Transformieren mit der gewünschten Zeit-Raum-Transformationi auf Labor-Koordinaten
• Ausführen aller anstehenden Ableitungen
• Eliminieren der Größen, die bei Setzen von
  
  nicht verschwinden, mit Hilfe der das Subsystem beschreibenden Gleichungen
• Da _jv_k und v_k^,0 voraussetzungsgemäß unabhängig vari¨iert werden können, lassen sich T und G Term für Term bestimmen.
• Aus
  
  läßt sich schließlich die Kraftdichte f auf dieses Subsystem bestimmen.

Ein abgeschlossenes System erfordert natürlich

.

3.2.2.2 De Groot und Suttorp

In der Kentwellschen Systematik unter die Spannungstensor-Formulierungen mit zeitabhängiger Amplitudini (dort Abschnitt 3.3) einzureihen ist eine Arbeit von de Groot und Suttorp. In ihrem Buch “Foundations of Electrodynamics” [GS72] fällt sozusagen en passant ein Ausdruck ab, der die ponderomotorische Kraft auf ein Medium bestimmt.

Historie De Groot hat 1969 in einer kleinen Studie [Gro69] vorgeführt, wie die Vakuum-Maxwellgleichungen mathematisch sehr viel klarer als in der ursprünglichen Lorentz’schen Herleitung makroskopisiert werden können. Auch in relativistischer Darstellung bereitet dies offensichtlich keine Schwierigkeiten. Drei Jahre später war die weitere Arbeit so weit herangereift, daß ein sehr viel ausführlicheres Buch [GS72] mit Suttorp zusammen veröffentlicht werden konnte.

Das Verfahren Es geht, wie die ursprüngliche Herleitung durch Lorentz, von einer Zerlegung der Ladungsverteilung in in sich stabile Ladungscluster (Atome, Moleküle, Kristalle o.ä.) aus und liefert über eine Taylor-Entwicklung der Ladungsverteilung dieser Cluster⁶ in mikroskopische (magnetische und elektrische) Multipol-Momenta und die übliche thermodynamische Ensemble-Mittelung die makroskopischen Maxwellgleichungen⁷.

Völlig analog bestimmt er aus der mikroskopischen Lorentz-Kraft-Gleichung die makroskopische Kraft auf ein Medium, wobei auch die Wechselwirkung der einzelnen Ladungscluster untereinander, in Abhängigkeit davon, wie sie im Phasenraum korreliert sind, Berücksichtigung findet.

Kritik De Groot und Suttorp setzen voraus, daß die Ladungscluster als stabile Gebilde erhalten bleiben müssen. Systeme, in denen in nennenswertem Maße Ionisation und Rekombination eine Rolle spielen, werden also hier nicht modelliert.

Wie ein einzelner Ladungscluster seine Ladungsverteilung und damit seine Multipol-Momenta im Feld einstellt, wird nicht behandelt; die Ladungsverteilung wird zu einem bestimmten Zeitpunkt als gegeben hingenommen. Insoweit ist die Theorie auch voll nichtlinear - Linearität wird oft erst eingebracht, wenn man die Dynamik der mikroskopischen Multipol-Momentorum mit linearen Differentialgleichungen modelliert. Das wird dann traditionell in der Theorie der dielektrischen und magnetischen Suszeptibilitäten getan; siehe z.B. van Vleck 1932 [Vle32], [Vle52].

Es wird nur zum Zwecke der Makroskopisierung ensemble-gemittelt - damit ist makroskopisch weiterhin das gesamte zeitliche Spektrum der Kraft sichtbar. In den meisten Fällen werden unsere Detektores nicht der vollen Frequenz des Lichtes folgen können (sobald die Nichtlinearität der Mediorum eine Rolle zu spielen beginnt, müßten sie auch noch den Oberwellen folgen), d.h. die unserer Detektorträgheit entsprechende Zeit-Mittelung respektive Tiefpassfilterung auszuführen, steht samt der damit verbundenen Schwierigkeiten noch aus.

Kapitel 4
Praeliminaria

4.1 Überblick

Fi :	ponderomotorische Kraftdichte
n :	Teilchenzahldichte
q :	Ladung eines einzelnen Teilchens
m :	Masse eines einzelnen Teilchens
:	Winkelfrequenz des E-Feldes
:
:
:
:
:

Der hiesige Ansatz folgt den Spuren der klassischen Suszeptibilitätstheorie und fügt einige der besten [mir bekannten] Arbeiten zu einem einheitlichen Ganzen. Im einfachsten über Einzelteilchen-Betrachtungen hinausgehenden Fall bringt die Gegenwart vieler Teilchen zwei neue Phänomene:

• bei kleinen bis mittleren Licht-Intensitäten und geringen Photonen-Energien (solange Ionisation nicht stattfindet) besteht die Target-Materie noch aus in sich stabilen gebundenen Ladungsklumpen (Atome, Moleküle, Kristalle). Die Bindung einer Ladung läßt sie mit anderer Phasenlage¹ auf ein anregendes Feld antworten als ein freies Teilchen. Von dieser Phase ist die Kraft abhängig, die solch ein Oszillator im Feld erfährt. Das Maß, mit dem jeder einzelne Teil-Oszillator eines Klumpens am Geschehen “teilnimmt”, kann durch sogenannte Oszillatorstärken beschrieben werden, die quantenmechanisch oder phänomenologisch zu bestimmen sind,
• die einzelnen Ladungsklumpen erzeugen Felder, die wiederum auf die Nachbarklumpen wirken. Das Feld am Ort eines Ladungsklumpens ist also nicht das Vakuumfeld [wie beim Einzelteilchen], sondern das Superponat aus Vakuumfeld und dem von allen anderen Ladungsklumpen des Systems verursachten.

In einer etwas realistischeren Modellierung der Welt wäre sicher noch das Spiel von Ionisationi und Rekombinationi zu berücksichtigen. Dieses Maß an Realismo wird die vorliegende Arbeit jedoch schuldig bleiben.

Das Verhalten teil-ionisierter Plasmen² ist auf der Basis des vorliegenden Rahmens noch recht einfach zu beschreiben, indem man Mischungen eingehender studiert.

4.2 Liminaria

4.2.1 klassisch oder relativistisch ?

Relativistische Effekte beginnen Berücksichtigung zu fordern, wenn die Energien einzelner [Sub- ]Systeme relativ zu deren Ruhmasse nicht mehr zu vernachlässigen sind. Im hier studierten Szenario gewinnt dieses Kriterium zuerst für die Elektronen mit ihrer geringen Ruhmasse Bedeutung.

Die “Bahn” eines einzelnen Elektrons ist im Rahmen hiesigen Modells darstellbar als Superponat aus hydrodynamischer Geschwindigkeit, thermischer Geschwindigkeit seines Gast-Ladungsklumpens sowie der Oszillations-Geschwindigkeit innerhalb dieses Ladungsklumpens. Eine relativistisch werdende hydrodynamische Geschwindigkeit ist durch eine einfache “makroskopische” Lorentz- Transformationem zu beschreiben. Sowohl relativistische Temperaturen als auch relativistische Oszillations-Energien liegen aber so weit oberhalb der Dissoziations-Energien der als Ladungsklumpen wohl meist in Frage kommenden Atome und Moleküle, daß das relativistische Regime und das der stabilen Ladungsklumpen sich für praktisch relevante Fälle gegenseitig ausschließen dürften.

Alle weiteren Betrachtungen werden sich daher hier auf den nichtrelatistischen Grenzfall beschränken.

4.2.2 klassisch oder quantenmechanisch ?

m :	Masse eines Elektrons
:	Winkelfrequenz des Übergangs vom Zustand in den Zustand
:	Winkelfrequenz des Treiberfeldes
f :	Oszillatorstärke mit dem der Übergang vom Zustand in den Zustand beiträgt
<> :	Erwartungswert der Polarisationis des Atoms im Zustand
:
:
:
:

4.3 Thermodynamische Praeliminaria

Wir werden im Zuge der weiteren Rechnungen von mikroskopischen auf makroskopische Größen zu schließen haben. Um den Fluß der Darlegungen später nicht zu stören, studieren wir zunächst einige Brösel Thermodynamik.

4.3.1 Ensemble-Mittelung

N :	Anzahl der Teilchen des betrachteten Systems
Rai :	Ort des a-ten Teilchens
d :	Phasenraumelement ijadRaidRaj,0
b :	mikroskopische Größe
B :	makroskopische Größe
C :	Basis-Körper des linearen Raumes der Funktionum b bzw. f
c :	c C , d.h. es ist ein Skalar des linearen Raumes der Funktionum b bzw. f
f :	Verteilungsfunktion, i.e. Wahrscheinlichkeit[sdichte], ein bestimmtes Ensemble anzutreffen
:
:
:
:

.

4.3.1.1 Additiones

vertauschen wegen der Distributivität der Multiplikationis mit der Verteilungsfunktioni und der Linearität der Integrationis mit der Ensemble-Mittelung:

.

4.3.1.2 Skalar-Multiplikationes

vertauschen wegen

Daß schließlich auch

4.3.1.3 Differentiationes

nach Zeit und Ort mit der Ensemble-Mittelung vertauschen, ersehen wir folgendem Argument:

Die linke und die rechte in der Kette der folgenden Gleichheiten spiegeln schlicht die Definitionem der Mittelwertbildung. Die mittlere ergibt sich aus der Tatsache, daß die Wahrscheinlichkeit fd bei einer Transformationi der (Zeit und Orts)-Koordinate konstant bleibt.

(4.7)

4.3.1.4 Reduzierte Verteilungsfunktiones, Korrelationes

f1(t,R1,R1,0) :	Einteilchen-Verteilungsfunktion, i.e. Wahrscheinlichkeit[sdichte], irgendeines der Teilchen mit einer Geschwindigkeit R1,0 am Ort R1 anzutreffen
f2(t,R1,R1,0,R2,R2,0) :	Zweiteilchen-Verteilungsfunktion, i.e. Wahrscheinlichkeit[sdichte], irgendeines der Teilchen mit einer Geschwindigkeit R1,0 am Ort R1 und ein anderes mit einer Geschwindigkeit R2,0 am Ort R2 anzutreffen
c2(t,R1,R1,0,R2,R2,0) :	Zweiteilchen-Korrelationsfunktion
:	Bezeichner einer Teilchensorte
:	Bezeichner einer davon unterscheidbaren Teilchensorte
:
:
:
:

Dies gibt Anlaß zur Definitioni sogenannter Ein- bzw. Zweiteilchen-Verteilungsfunktionum 

Ausführlichere Darlegungen zu reduzierten Verteilungsfunktionibus findet man in jedem besseren Lehrbuch zur Thermodynamik, z.B. [Bal75], §3.1.

4.4 Kontinuum-mechanische Praeliminaria

dV :	betrachtetes Volumenelement
dO :	Oberflächen-Element
F :	Kraft auf ein Volumenelement
f :	Kraftdichte
ij :	Spannungstensor i.e. Impulsstromdichte
:
:
:
:

Die Kraft auf ein einzelnes Volumenelement setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:

• der Kraft auf sein Inneres
• der Summe der Kräfte auf seine Oberflächen

.

Während

4.4.1 die Kraft auf das Innere eines Volumenelementi

schlicht

4.4.2 der Kraft-Anteil auf die Oberfläche eines Volumenelementi

einer etwas feineren Betrachtung:

Wie man in Abbildung 4.1

Abbildung 4.1: Beitrag der Oberflächenkräfte auf ein Volumen dV = dObdxb vermöge des Impulsstroms durch die Oberflächen-Elementa dOb.

• an der Stelle x die Kraft F(x) und
• an der Stelle x+dx die Kraft F(x+dx)

. Die Impulsströme, die die jeweiligen Oberflächen-Elementa passieren, sind die Quotienten

.

Die Kraft, die über die beiden gegenüberliegenden Oberflächen-Elementa dO_j auf das Volumenelement insgesamt wirkt, ist also

Auch Oberflächenkräfte auf die einzelnen Volumenelementa üben also auf diese Kräfte aus, die ihrem Volumini proportional sind, mithin von der [Kraft-]Dichte

4.4.3 Granulare Media

Im Falle eines Medii, das nicht wirklich homogen ist, sondern nur im Limes einer immer feiner granularen Konsistenz betrachtet wird, führt das Zerlegen in Volumenelementa zu Modellierungs- Artefakten, die folgend am Beispiel des Multipol-Fluidi beschrieben seien:

4.4.3.1 Die Kinderschaufel

Fände der Prozeß des Aufteilens in Volumenelementa tatsächlich nur so statt, daß die einzelnen Granula des Medii unzertrennt blieben, so wie eine Kinder-Schaufel im Sandkasten beim Stich in den Sand die einzelnen Sandkörner unversehrt läßt, dann wäre das Integral über das gesamte Integrationsvolumen ohne weiteres gleich der Summe über die einzelnen Volumenelementa (Granula).

4.4.3.2 Die Guillotine

Nun fährt der Mathematiker aber mit der ganzen Schärfe seiner mathematischen Trennebenen einem Fallbeil gleich durch das Medium, ohne daß ein zufällig gelagertes Granulum die Wahl hätte, sich in Gänze auf die eine oder andere Seite der Trennebene zu schlagen. Man hat dann sorgfältig den [Oberflächen-]Beitrag zertrennter Granulorum zu bilanzieren - ein lästiges Artefakt, einzig geboren aus der Willkür des Zerteilens des Integrationsgebiets.

4.4.4 Beispiel: elektrische Kräfte auf ein Multipol-Fluidum

4.4.4.1 Die Kinderschaufel

Wenden wir diese Erkenntnis auf den Fall unseres Multipol-Fluidi an, dann ist die Kraft auf ein bestimmtes Raumgebiet im Falle des mit der “Kinder-Schaufel” zerlegten Integrationsgebiets, bei dem kein Multipol zerteilt wird, einfach der Summe der Kelvin-Kräfte auf die einzelnen Multipole.

4.4.4.2 Die Guillotine

Wollten wir im Falle, daß uns ein Mathematiker unser Integrationsgebiet mit der Guillotine zerlegt hat, die Kraft auf ein Volumenelement bestimmen, dann setzte sich diese aus drei Anteilen zusammen:

1. der Kelvin-Kraft des äußeren Feldes auf die unzerschnittenen Multipole im Innern des Volumenelementi,
2. dem Kraftanteil des Feldes auf die im Innern des Volumenelementi verbliebenen Multipolfragmenta (meistens wird dies die Summe der Lorentz-Kräfte auf die einzelnen Ladungen sein - jedenfalls solange man nicht davon beseelt ist, die auch noch zerhacken zu wollen)⁵
3. der Kraft, die die äußeren Multipolfragmenta auf die inneren ausüben

.

Die ganze Fragwürdigkeit des unpragmatischen Standpunkts, den man damit einnimmt, wenn man Multipole zertrennt, zeigt sich, wenn man sich gewärtigt, daß die Kräfte, die die einzelnen Bestandteile eines Multipols aufeinander ausüben, in den meisten Fällen gar nicht observabel sind.

Die Konsequenzen aus dieser Einsicht können nur lauten:

• die Literatur befrage man sehr genau nach der Wahl der Zerlegung und den Konsequenzen für die Berechnung von Oberflächenkräften,
• wir nehmen die Kinderschaufel, d.h. die Lage des Entwicklungszentri eines Multipols entscheidet über die Zugehörigkeit zu “seinem” Volumenelemento,
• wollten wir einen Feststoff untersuchen, müssten auch wir wohl zur Guillotine greifen, denn dann dürfte sich schwerlich eine Zerlegungsmöglichkeit auf einer mesoskopischen Ebene finden lassen, die nicht den gesamten makroskopischen Körper umfaßt, der dann die Rolle des “Multipols” spielt

.

4.4.5 Die Wahl der Systemgrenzen

Auch bezüglich der Entscheidung, welchen Anteil der Kraft man als Volumenkraft und welchen man als Oberflächenkraft betrachtet, ist man weitgehend ungebunden.

Vergegenwärtigen wir uns dies am Beispiel der Kräfte des elektrischen Feldes auf Ladungen:

4.4.5.1 Volumenkräfte

Betrachtet man das Feld als nicht zum System gehörig, dann greift es gleichsam an allen Systemgrenzen vorbei in das Volumenelement hinein und wirkt auf die dort plazierten Ladungen. Bei dieser Sicht der Dinge hat man sich dafür entschieden, die Kraft, die vermöge der Wechselwirkung des Feldes auf die Ladungen zustandekommt, als Volumenkraft zu betrachten.

Noch anschaulicher wird die Sache vielleicht, wenn man das Feld in Gestalt von Photonen verkörpert sieht. Ein Photon passiert dann unregistriert die Oberfläche und erst, wenn es zur Wechselwirkung mit einer Ladung im Innern kommt, wird sein Impulsübertrag gezählt.

4.4.5.2 Oberflächenkräfte

Betrachtet man das Feld hingegen als zum System gehörig, dann sieht man es die Oberfläche passieren, und der Anteil des Feldes, der im Innern des Volumenelementi mit einer Ladung zur Wechselwirkung kommt, wird wegen der Coulombgleichung (5.1a) auf der gegenüberliegenden Oberfläche nicht wieder heraustreten. Man ordnet also auch dem Feld selbst eine Spannung, i.e. einen Impulsstrom zu, der schon beim Passieren der Oberfläche bilanziert wird.

Im Photonenbild heißt das: man zählt den Impuls des Photons just in dem Momento, in dem es die Grenzen des Volumenelementi überschreitet.

Kapitel 5
Felder

5.1 Die Maxwell-Gleichungen

sind natürlich eine weitere [nicht ganz so kleine] Vorbereitung¹ auf die folgenden Betrachtungen über Kräfte.

e :	ein Lichtgeschwindigkeitel des mikroskopischen elektrischen Feldes
b :	mikroskopisches magnetisches Feld
d :	mikroskopische dielektrische Verschiebung
h :	mikroskopische magnetische Induktion
Ra :	Ort des Teilchens “a”
qa :	Ladung des Teilchens “a”
a(n) :	elektrisches Multipol-Moment n-ter Stufe des Teilchens “a”
a(n) :	magnetisches Multipol-Moment n-ter Stufe des Teilchens “a”
:	atomare freie Ladungsdichte
j :	ein Lichtgeschwindigkeitel der atomaren freien Stromdichte
p :	atomare Polarisation
m :	ein Lichtgeschwindigkeitel der atomaren Magnetisierung
:
:
:
:
:

5.1.1 mikroskopisch

lebt man im Vakuo. Entsprechend sehen die Feldgleichungen aus:

5.1.2 atomar

1. ersetzt:
   die Nummer a jeder einzelnen Ladung
   durch ein 2-Tupel bd mit
   b: Nummer des Klumpens
   d: Nummer innerhalb des Klumpens

   und

2. in eine Taylor-Reihe entwickelt die Ladungsverteilung innerhalb jedes einzelnen Ladungsklumpens [mit der Nummer b] um einen geeigneten Entwicklungspunkt R_b ( Schwerpunkt von Ladung, Masse, o.ä.) mit dem Parameter r_bd

. Die bisher bei R_a erscheinende Ladungq_a findet sich nun also als q_bd bei R_b + r_bd.

Die Maxwell-Gleichungen sehen nun nicht mehr ganz so bekannt aus^2,3:

.

Wir trachten ja in diesem Abschnitt danach, die Maxwell-Gleichungen in die bekannte Materie- Form zu überführen und setzen - jeweils den nullten und die höheren Terminos der Taylor- Entwicklung separierend - deshalb zunächst

, womit sich schließlich auch Feld-Gleichung (5.3b) vereinfacht⁴ und zwar zu

.

Nun ist es keine große Kunst, unliebsame Terminos in neudefinierten Variablen verschwinden zu lassen⁵; da unser gerade geschnürtes Päckchen aber etwas größer war, würdigen wir p und m noch eines genaueren Blickes, der uns die Darstellung auf einer Ebene intermediärer Komplexität bescheren wird.

Definieren wir, wie üblich, die elektrischen Multipol-Momenta

.

So erhält man schließlich

5.1.3 makroskopisch

Aus den Gleichungen (5.17) erhält man so⁶

.

Analog zu (5.18) mag man

. F eld im Medio]

5.2 Das [wirksame] Feld im Medio

5.2.1 Ein Beispiel: der Plattenkondensator

m :	Flächen-Ladungsdichte auf der Oberfläche x = xm, m {s,t,u,v}
:	dielektrische Suszeptibilität
:
:
:
:

Abbildung 5.1: Kondensator

Dabei befinden sich auf den Kondensatorplatten (d.h. bei x_s und x_v) und auf den Oberflächen des Dielektriki (d.h. bei x_t und x_u) die tatsächlichen Flächen-Ladungsdichten

Vorausgesetzt, die ganze, hier skizzierte Konfiguration befinde sich im feldfreien Raum, dann liefert die Integration der Maxwell-Gleichung (5.23a) für die Felder an den Orten

5.2.2 Ladungsanhäufungen

Selbstverständlich sorgt jede Ladungsanhäufung, sei es eine freier Ladungen oder auch eine durch Divergenzen der Polarisationis, für zusätzliche Felder⁷, die einem möglichen äußeren⁸ Feld überlagert sind.

5.2.2.1 Abschirmung

Kommen diese Ladungsanhäufungen und die hierherrührenden Felder erst als Systemantwort auf ein äußeres Feld zustande, dann spricht man auch oft von Abschirmung.

In diesem Werk wird dem Begriff “Abschirmung” keine ausgezeichnete Bedeutung zukommen: im Rahmen einer linearen Theorie ist alles über den Mechanismum der Superpositionis zu verstehen.

Will man die Verhältnisse

5.2.3 am Orte eines Ladungsklumpens

5.2.3.1 Clausius-Mosotti

Die Bestimmung dieses Feldes ist Gegenstand einer Rechnung, deren Grundlagen Mosotti 1836 [Mos36] legte, indem er Moleküle als leitende Kugeln modellierte, und die man in modernerer und auch konsistenterer Form z.B. in Becker und Sauter [BS69b], §19 nachvollziehen kann.

Dabei modelliert man das Dielektrikum durch ein homogen polarisiertes Kontinuum mit kugelförmigem Loch⁹. In Praxi subtrahiert man von einem massiven Kontinuo eine kleine dielektrische Kugel gleicher Polarisationis, von der man ja weiß, daß das Feld in ihrem Innern homogen und von der Stärke

Da sich das Feld im gelochten Kontinuo und das Feld in der dielektrischen Kugel zum homogenen E summieren, muß das Feld im Loch

5.2.3.2 Lorenz-Lorentz

H.A. Lorentz [Lor80a] und L. Lorenz [Lor80b] zeigten beide 1880 - vermutlich unabhängig voneinander -, daß dieses Ergebnis auch für den Fall zeitabhängiger Felder gültig bleibt. Eine modernere Darstellung findet man auch wieder z.B. bei Becker und Sauter [BS69b], §24. Etwas überraschend ist hierbei die Tatsache, daß sowohl der Feldgradient um die Lorentz-Kugel als auch die Retardierung vom umgebenden Medio zum Aufpunkt hin, das Ergebnis angeblich nicht modifizieren. Bei der Herleitung selbst ist indes doch ein deutlich sorgfältigeres Vorgehen vonnöten.

Kapitel 6
Kräfte

Rb :	Ort des Zentri des Ladungsklumpens [, alias “Atoms”] “b”
Rbd :	Ort des d-ten Teilchens des b-ten Ladungsklumpens
rbd :	Ort des d-ten Teilchens des b-ten Ladungsklumpens relativ zum Zentrum des Ladungsklumpens “b”
bi :
qbd :	Ladung des d-ten Teilchens des b-ten Ladungsklumpens
Eext :	externes elektrisches Feld
ecmi(t,Rbd) :	elektrisches Feld am Ort der d-ten Ladung des b-ten Atoms ohne das Selbst- Feld des Atoms “b”
Bext :	externes magnetisches Feld
bcmi(t,Rbd) :	magnetisch Feld am Ort der d-ten Ladung des b-ten Atoms ohne das Selbst- Feld des Atoms “b”
fb :	Kraft auf das Atom “b”
fbext :	auf das externe Feld zurückzuführende Kraft auf das Atom “b”
fbaltshort :	kurzreichweitiger Anteil der Kraft, die die von den anderen Atomen verursachten Felder auf das Atom “b” ausüben
fbaltlong :	langreichweitiger Anteil der Kraft, die die von den anderen Atomen verursachten Felder auf das Atom “b” ausüben
Fshort :	kurzreichweitiger Anteil der Kraftdichte
Flong :	langreichweitiger Anteil der Kraftdichte
:
:
:
:

6.1 Ein kleines Beispiel: der Dipol

Der Dipol bestehe aus den beiden Ladungen -q an der Stelle R - und +q an der Stelle R + :

Abbildung 6.1: Dipol der Stärke p = qr

Die Kraft auf den ganzen Dipol ist die Summe der Kräfte auf die einzelnen Ladungen

.

Entwickelt man die Felder um R und berücksichtigt nur lineare Glieder, erhält man¹

.

Bereits dieser einfache Fall zeigt drei Terminos, die wir auch in ausführlicheren Rechnungen wiederfinden werden:

1. die elektrische Kelvin-Kraft
2. eine magnetische Kelvin-Kraft
3. eine Kraft, die man als “Dipol-Hall-Kraft” bezeichnen könnte

.

6.2 mikroskopisch

.

Am Ort der d-ten Ladung des b-ten Atoms sehen wir die Felder

.

Die auf Ladungsbewegungen zurückzuführenden Beiträge zum Magnetfeld vernachlässigen wir in unserer nichtrelativistischen Theorie wegen R_cf^,0 « 1.

6.3 atomar

.

Da Kräfte innerhalb eines Atoms nun ohnehin nicht observabel sind -- ein Atom vielmehr in diesem Rahmen, gleichviel ob klassisch oder quantenmechanisch, als Multipol- Oszillator beschrieben sei -- und für die Bestimmung der Kraft auf das Atom als Ganzes² auch gänzlich bedeutungslos, können wir den sie vermittelnden Feldanteil weglassen und definieren das für seine Wirkung auf das ganze Atom b einzig bedeutsame Feld

.

Auf das Atom b wirkt insgesamt die Lorentz-Kraft

.

6.3.1 Anteil vermöge des externen Feldes

Entwickelt³ man die Felder (6.5) um R_b,⁴ dann wird (6.12a) zu

.

Einsetzen der elektrischen Multipol-Momentorum (5.14) mit (5.12) und der magnetischen Multipol- Momentorum (5.15) mit (5.13) liefert zunächst

Um dies ergonomisch zu bewältigen, formulieren wir zunächst folgenden

Satz 6.1

Beweis: Siehe Anhang B.1.
_

, kraft dessen wir (6.15) schließlich in folgender Form finden

.

6.3.2 Anteil vermöge der Felder der Nachbaratome

Im allgemeinsten aller Fälle ergibt man sich einer gewissen Hilflosigkeit und stellt den von den Feldern der Nachbaratome verursachten Kraftanteil (6.12b) schlicht in den Lösungen

.

6.3.3 Reichweite

6.3.3.1 kurzreichweitige Kräfte

Außerhalb des Konvergenzgebiets⁵, steigert man seine Hilflosigkeit, indem man vom exakten Ausdruck (6.19) den eben errechneten Unfug der dann vagabundierenden Taylor-Entwicklung (6.20a) wieder subtrahiert und so die kurzreichweitige Kraft

6.3.3.2 langreichweitige Kräfte

Mit dem Abspalten des kurzreichweitigen Kraftausdrucks (6.21) hat man sich der wenig greifbaren Domäne der nicht-mehr-konvergierenden Taylor-Entwicklung entledigt und definiert die greifbarere Kraft

So ergibt sich die langreichweitige Kraft dann völlig analog zu

.

6.3.4 Kraftdichte auf ein Ensemble von Atomen

Im gesamten bisherigen Abschnitt 6.3 wurde die Kraft auf das b-te Teilchen errechnet. Aus einer weniger lokalen Perspektive auf das Medium interessiert aber vielmehr eine Kraftdichte in Abhängigkeit vom Ort, die in Gegenwart eines ganzen Ensembles von Atomen auf dieses wirkt:

.

Die Dichte langreichweitiger Kräfte f_long(t) wird so mit der im vorherigen Abschnitt dargestellten entsprechenden Kraft f_blong(t)

.

Der Rest dieses Abschnitts ist nun - völlig analog dem Vorgehen bei der Makroskopisierung der Felder in Kapitel 5 - den Ersetzungen

Für die Felder sind die Substitutiones (6.28a), (6.28b) rein syntaktisch. In deren Folge sind jedoch die Differentialoperatores der Taylor-Entwicklung ebenfalls umzusetzen und zwar gemäß (5.2).

6.3.4.1 Lorentz-Kelvin-Anteil auf den Atom-Strom

Die erste Zeile von (6.27) wird mit

Auch den vorletzten Term stellen wir mit

6.3.4.2 Lorentz-Kelvin-Anteil auf intra-atomare Ströme

Die zweite Zeile von (6.27) wird mit

.

6.3.4.3 Totum Virium

Mit der Bemerkung, daß die Summe (6.35f).1 + (6.33) + (6.31) gerade

.

6.4 makroskopisch

6.4.1 Die Massenbilanz

Die makroskopische Massendichte sei

Deren zeitliche Änderung ist

.

Mit der Massenstromdichte

.

Wegen

(6.43)

6.4.2 Die Impulsbilanz

Die Kraftdichte aller anderen Subsysteme auf das Trägheits-Subsystem ist die hydrodynamische Impulsstromdichte abzüglich der auf Dichte-Zunahme zurückzuführenden Impulsstromdichte:

.

Wir werden in diesem Unterkapitel das zweifellos wünschenswerte Ziel, einen Erhaltungssatz für die Impulsstromdichte zu formulieren, nicht bis zum Ende durchführen. Dennoch werden wir, in stiller Vorbereitung auf diese Form, zur ebengenannten Kraftdichte auf das Trägheits-Subsystem die auf Dichte-Zunahme zurückzuführende Impulsstromdichte addieren und in den folgenden Formeln die zeitliche Ableitung des Trägheitsanteils der Impulsstromdichte auf die linke Seite stellen.

Diese ist in unmittelbarer Folge von Definitioni (6.41a) und dann mit einigen Umformungen

.

Mit der Geschwindigkeits-Fluktuationi⁸

.

Wegen der Vertauschbarkeit von Ensemble-Mittelung und Addition (siehe (4.5)) kann man die Ensemble-Mittelung “ausmultiplizieren”:

.

Unter Vernachlässigung von Fluktuationibus⁹ wird hieraus schließlich

.

An dieser Stelle ist man nun an einer Wegesgabel angelangt und hat sich zu entscheiden, ob man sich weiter auf de Groots Pfade begeben will¹⁰, aus der Situationi weitgehender Unkenntnis des konkreten Medii das Maximum theoretischer Aussagefülle zu knautschen oder hier folgend in die Niederungen praktisch relevanter Konfigurationum, und Media studiert, die deterministisch auf externe Felder antworten.

6.5 Media mit P = P(E)

D :	Raumbereich, in dem diskret gerechnet wird
K :	Raumbereich des Kontinui
K :	Rand des Kontinui
ecm(t,Rb) :	Feld am Ort des Atoms b ohne dessen Selbstfeld; in der Literatur auch oft “wirksam Feld” genannt
:
:
:
:
:

Solange wir die Domäne modellieren, in der die Ladungsklumpen als lineare Oszillatores zu beschreiben sind, wird aus der funktionalen Abhängigkeit e_c-s von E_ext eine einfache Proportionalität mit einem Faktori¹¹ f_c

.

6.5.1 Eine diskret-kontinu¨ierliche CM-Verallgemeinerung

Nun sind nur für überschaubare Teilchenzahlen derartige Summen ein angemessenes Mittel; mit größer werdenden Teilchenzahlen andererseits werden Mittelungen immer genauer, und eröffnen uns so die Domäne der Kontinuorum.

Ein in vielen Fällen sehr gutes Modell sieht dann so aus, daß man Felder unmittelbarer Nachbarklumpen durch Summieren á la (6.56b) gewinnt und jenseits eines gewissen Horizonts (K ) über via [thermodynamischer] Mittelung kontinu¨ierte Zellen des Medii integriert. Insbesondere in Mediis mit Nahordnung [wie Kristallen und Gläsern] sind die Summen leicht ausführbar. Eine geschickte Wahl der Horizont-Oberfläche wird meist durch die geometrische Symmetrie des Medii nahegelegt.

6.5.2 Das “wirksame” Feld am Ort eines Atoms

mit der Nummer “b” setzt sich in unserem diskret-kontinu¨ierlichen Falle aus den vier Terminis 

• Term (6.59a) der Beitrag des externen Feldes
• Term (6.59b) der Beitrag des Randes des Kontinui 
• Term (6.59c) der Beitrag von Polarisations-Inhomogenitäten des Kontinui 
• Term (6.59d) der Beitrag der einzelnen Nachbaratome im Bereich der diskreten Modellierung, den man auch in der Form (6.58) hätte schreiben können

.

Der den

6.5.2.1 Beitrag der Horizont-Oberfläche

beschreibende Term (6.59b) kann noch anschaulicher umgeformt werden, wenn man bemerkt, daß _jP^j einer Ladungsdichte entspricht:

Just an der Horizont-Oberfläche springt die Polarisation von P = lim_(RK)K P(R) auf P = 0.

Coulombgleichung (5.23a) zeigt zunächst einerseits¹², daß diesem Sprung der Polarisationis ein Sprung des elektrischen Feldes in entgegengesetzt gleicher Höhe entsprechen muß:

.

Stellt man sich andererseits --

Term (6.59b) zeigt sich damit in der etwas eingängigeren Form

.

Im - symmetrischer Mediorum]

6.5.2.2 Fall lokal kugel[i.e. SO(3)]-symmetrischer Mediorum

ist die Horizont-Oberfläche K eine Kugel.

Abbildung 6.2: Feld im Clausius-Mosotti-Loch

R,, :	Tripel der Polarkoordinaten
dO :	infinitesimales Element der Horizont-Oberfläche
:
:
:
:
:

.

In Polarkoordinaten ist die Ladungsdichte auf der Kugeloberfläche [, da das Feld in der Kugel homogen ist¹³,]

.

6.6 Die Kraftdichte im Clausius-Mosotti-Fall

ist die Spezialisierung von (6.55) auf ebendiesen. Mit (6.10) und (6.58) finden wir

.

Kapitel 7
Historische “Kraft-Ausdrücke”

7.1 Die Kelvin-Kraft

Kelvin leitete 1845 [Kel45] den, soweit in der heutigen Literatur bekannt, vermutlich ersten Ausdruck für eine ponderomotorische Kraft her. Er ist in der Gestalt

7.2 Die Helmholtz-Kraft

7.2.1 Klassische Herleitung (gemäß der Becker’schen Überarbeitung)

Traditionell fußt die Herleitung der sogenannten Helmholtz-Kraft auf der Identifizierung der Energieänderung eines deplazierten Fluidelementi mit der mechanischen Verschiebe-Energie “Kraft ^. Verschiebeweg”.

:	als Präfix vor einer [auch indirekten] Funktioni vom Ort, bedeutet deren durch die Deplazierung verursachte Änderung
V :	Größe des deplazierten Voluminis
V :	Oberfläche (i.e. Rand) von V
d :	Oberflächen-Element von V
U :	innere Energie des Voluminis
si :	Verschiebeweg
fi :	Kraftdichte
V tot :	Volumen des gesamten felderfüllten Raums
Ei :	elektrisches Feld
:	Potential des elektrischen Feldes
Di :	sog. dielektrische Verschiebung
:	Dielektrizitätsfaktor
:	Dichte der elektrischen Ladung
n :	Teilchen-Dichte
:
:
:
:
:

.

Mit

.

Nun kann mit dem Gaußschen Integral-Satz:

D

Die Änderung der Feld-Energie hat damit die Form

.

Die einem Volumini dv verlorengehende Ladungsmenge entschwindet durch die Oberfläche d:

Völlig analog erhält man eine Kontinu¨itätsgleichung für die Anzahldichte:

.

Mit den beiden Kontinu¨itätsergebnissen schreibt man für die Änderung der inneren Energie vorerst

.

Wendet man auf die Integranden die Produktregel

Bei Belieben kann man nun noch den letzten Terminum unter Zuhilfenahme von

.

7.2.2 Nicht ganz so klassische Herleitung (á la Landau)

Die Kraft F auf ein Volumen V kann man in verschiedenen Formen schreiben:

.

Landau zerteilt nun sein Volumen so, daß die Oberflächen O auf den Äquipotentialflächen liegen.

Abbildung 7.1: Landau’sches Volumenelement

• die Äquipotentialflächen sollen mit den Oberflächen O mitwandern, d.h. die elektrische Spannung zwischen (Ober- und Unter-)seite soll konstant bleiben:
  
• es soll kein Materiefluß stattfinden:
  
• die Temperatur bleibe konstant:
  

. Diese drei Bedingungen lassen sich nun aber nicht für ein abgeschlossenes System gewährleisten. Vielmehr müssen, um Bedingung (7.21) zu garantieren, die “Kondensator-”Oberflächen an ein Ladungsbad, i.e. eine Spannungsquelle angeschlossen werden, und für Bedingung (7.23) ist analog ein Ankoppeln an ein Wärmebad erforderlich. Landau definiert nun die frei-freie Energiedichte⁴

Die mechanische Arbeit, die man beim Ziehen an der Oberfläche zu verrichten hat, entspricht dann der Änderung der frei-freien Energie des Volumenelementi 

Die Forderung nach konstanter Temperatur, T = 0, fällt nicht mit höheren Weihen vom Himmel; sie ist schlichtweg die Kapitulation des Physikers vor der Komplexität, die er sich einhandelte, berücksichtigte er die Temperaturabhängigkeit aller Materialeigenschaften. Man sieht, das Opfer des ersten Termini von (7.24) an den Gott aller Thermostate trägt die Frucht der ersten Vereinfachung und wir ernten

.

Die Gestalt von Gleichung (7.25a) empfiehlt uns das Programm, das wir auf dem Weg zu einem Ausdruck für den Spannungstensorem ^ij abzuarbeiten haben werden -- Ausklammern von O_ih_j auf deren rechter Seite.

Als hierfür ganz ungemein hilfreich werden sich die beiden Folgerungen

Setzen wir nun (7.27) und (7.28) in (7.25) ein,

h

Die ersten beiden Termini von (7.30) bilden zusammen einen Druckterminum, den wir nun genauer bestimmen wollen. Um ihn greifbarer zu machen, teilen wir ihn in den rein thermodynamischen Anteil und den auf den Einfluß des Feldes zurückzuführenden Anteil auf.

Zunächst bemerken wir, daß 

Hätten wir

7.2.2.1 Der Spannungstensor

Setzen wir jetzt (7.31) und (7.32) in (7.30) ein, erhalten wir schließlich den Spannungstensorem 

.

7.2.2.2 Die Kraftdichte

des elektromagnetischen auf das mechanische Subsystem ist seit (4.13) die Divergenz des Spannungstensoris:

.

Kapitel 8
Identität von Kelvin-Kraft und Helmholtz-Kraft für Clausius-Mosotti-Fluida

fs :	Clausius-Mosotti-Symmetriefaktor (im SO(3)-Falle ist z.B. fs = 1/3)
n :	Dipoldichte
:	molekulare Polarisierbarkeit
:	dielektrischer Suszeptibilitätsfaktor
:
:
:
:

Satz 8.1 Sei

die Kelvin-Kraftdichte¹ und

die Helmholtz-Kraftdichte auf ein verallgemeinertes Clausius-Mosotti-Fluidum mit einem Feld

am Orte eines einzelnen Multipols, dann sind (Helmholtz und Kelvin)-Kraftdichte identisch.

Beweis: Die Kelvin-Kraftdichte:

Die Helmholtz-Kraftdichte:

Kapitel 9
Swinging Landau

But in our enthusiasm, we could not resist a radical overhaul of the system, in which all of its major weaknesses have been exposed, analyzed, and replaced with new weaknesses. - Bruce Leverett: “Register Allocation in Optimizing Compilers”

T :	Temperatur
s :	Entropiedichte
p :	Druck
n :	Multipol-Dichte
F :	Dichte der freien Energie mit elektromagnetischem Feld
F0 :	Dichte der freien Energie ohne elektromagnetisches Feld
ij :	Spannungstensor mit elektromagnetischem Feld
Wq :	Energie der auf den “Kondensatorplatten” des Volumenelementi befindlichen Ladungen
fcm :	Faktor, um den das lokale Feld am Orte eines Multipols gegenüber dem makroskopischen E-Feld größer ist
Wosc0 :	Oszillations-Energie, die ein Multipol im makroskopischen E-Feld hätte, i.e. ohne den Faktorem fcm
O :	Oberfläche des Landau’schen Volumenelementi
h :	Höhe des Landau’schen Volumenelementi
U :	elektrische Spannung zwischen den “Kondensatorplatten”
:
:
:
:

9.1 Innere Energie

In einen zeitlichen Verlauf eingebettete Änderungen der Dichte der inneren Energie beschreibt man am besten, indem man du formal durch dt dividiert (außerdem wurde noch die Variable v durch n ersetzt):

Dieser bis hierher recht na¨ive Ansatz läßt zwei Punkte völlig unklar:

• wie geht ein eventuell durch das elektrische Feld hervorgerufene Striktionsdruck in die Betrachtungen ein ?
• wo bleibt die in den Dipolen gespeicherte kinetische Energie ?

Um zu überprüfen, ob wir nicht im Begriffe sind, die Voraussetzungen von (9.1) überzustrapazieren, wollen wir (9.2) vergleichen mit einem Ausdruck (9.21), den wir aus einer Modellierung der Dipole als Dipol-Oszillatores gewinnen.

Um später in Sektioni 9.2 bequemer hantieren zu können, studieren wir zunächst - in bester buttom-up-Manier - einen einzelnen Dipol-Oszillatorem und danach ein ganzes Ensemble solcher.

9.1.1 Der getriebene Dipol-Oszillator

Eine linear-elastisch gebundene Ladung q der Masse m in einem elektrischen Feld¹

Unser Dipol hat das Moment 

.

9.1.2 Ein Ensemble getriebener Multipol-Oszillatorum im Clausius-Mosotti-Fall

Nachdem das Feld, das ein einzelner Multipol in Umgebung seiner Kollegen verspürt, das um den Clausius-Mosotti-Faktorem fcm vergrößerte elektrische Feld E_cm = fcmE ist, mag man zunächst na¨iv versucht sein, die Dichte des elektromechanischen Anteils der inneren Energie des gesamten Ensembles aller Multipole

Nun besteht die Na¨ivität des Ansatzes (9.12) darin, das um den Faktorem fcm gegenüber dem makroskopischen E vergrößerte lokale Feld, quasi wie a priori existent zu behandeln, während der über fcm = 1 hinausgehende Feldanteil tatsächlich doch erst durch die Nähe der Kollegen verursacht wird.

Ein zutreffendes Präparieren des gesamten Ensembles muß deshalb so aussehen:

• Einstellen der thermodynamischen Parameter [T, n], wobei man die einzelnen Multipole zunächst daran hindert, miteinander und mit dem elektrischen Feld zu interagieren, indem man ihre Polarisierbarkeit [quasi mit der Schraubzwinge] bei = 0 hält
• Einschalten des elektrischen Feldes. Wegen = 0 hat man dabei nur die Vakuum- Feldenergie zu investieren
• meine n die Dichte der schon am Polarisations-Spiel teilnehmenden Multipole, dann beginnt man nun, von n = 0 ausgehend, sozusagen eine Schraubzwinge nach der anderen zu öffnen. Dabei arbeiten die ihrem Gleichgewicht im E-Feld entgegenstrebenden Multipole an der Schraubzwinge. Gleichzeitig erhöhen sie für all ihre Kollegen das lokale Feld um einen kleinen Anteil

.

9.1.2.1 Energiebilanz beim Öffnen einer einzigen Schraubzwinge

Vereinbaren wir das Energieniveau eines einzelnen Dipols, den wir durch Setzen von = 0 in dem Zustand eingefroren haben, den er auch in feldfreier Umgebung hätte, zu Null, dann wurde im Feld beim Öffnen der -Schraubzwinge bei einem Dipolmomento p die Energie p_jE_cm^j frei. Diese wurde [im Falle des linearen Oszillatoris] zur Hälfte in die elastische Bindung investiert

9.1.2.2 Energiebilanz beim Öffnen aller Schraubzwingen

Das Feld am Ort des Multipols ist natürlich eine Funktion der Dichte n der schon “freigelassenen” Multipole, so daß wir mit Aufintegrieren aller Beiträge von der ersten bis zur letzten Schraubzwinge

Mit

.

Die Dichte der potentiellen Energie eines Ensembles von Multipolen ist nach dieser Betrachtung also in der Tat

Mithin ist die Dichte des gesamten elektrischen Anteils der inneren Energie des ganzen Ensembles oszillierender Multipole also

.

9.2 Landau revisited

Der thermodynamische Anteil der Dichte der freien Energie ist wie gewohnt

Die mechanische Leistung, die wir an unserem Volumenelemento erbringen, ist

Das Programm, das nun ansteht, um einen Ausdruck für den Spannungstensorem ^ij zu finden, ist, auf der rechten Seite von (9.23) O_i auszuklammern.

Zu diesem Behufe kommen uns die beiden Beziehungen⁵

9.2.1 Termini (9.23a.1)+(9.23c.1)

Ersetzt man zunächst in (9.23c.1) gemäß (9.24b),

.

9.2.2 Termini (9.23a.2)+(9.23a.3)

präsentieren sich schon in der gewünschten Form.

9.2.3 Term (9.23b.1)

fällt trivialerweise weg, da natürlich die Dichte des feldfreien Anteils der frei-freien Energie nicht vom Feld abhängt.

9.2.4 Termini (9.23b.2)+(9.23c.2)

.

9.2.5 Term (9.23b.3)

Die Ableitung nach E in

.

9.2.6 Term (9.23c.3)

ist trivialerweise Null.

9.2.7 Term (9.23d)

Die Leistung, die wir am Ladungsbad erbringen, ist

.

9.2.8 Der Spannungstensor

Jetzt, da in allen Terminis O ausfaktoriert wurde, können wir die Co-Faktores zum Spannungstensori aufsummieren:

9.2.9 Die Kraftdichte

ist mit (9.36) und (9.37c) nun schließlich

.

Kapitel 10
Epilog

Bisher haben rein mikroskopische Ansätze zur Bestimmung ponderomotorischer Kräfte neben rein makroskopischen ein Dasein gegenseitiger Nicht-Kenntnis geführt.

10.1 Das Lager der Mikroskopiker

Protagonisten des mikroskopischen Lagers sind Penfield und Haus sowie de Groot und Suttorp, deren Darstellungen auch heute nur wenig hinzuzufügen ist.

Bezeichnend für mikroskopische Herleitungen sind Kraft-Ausdrücke in Gestalt der Kelvin- Kraft.

10.2 Das Lager der Makroskopiker

Protagonisten des makroskopischen Lagers sind Helmholtz und Landau. Auch ihren Darstellungen ist heute, knapp ein Achtel Jahrtausend nach Helmholtz’ Veröffentlichung nur Marginales hinzuzufügen. Bedauerlicherweise hat das rekursive Abschreiben der Helmholtz’schen Arbeit nur in der Darstellung zu geringfügigen Verbesserungen geführt [und auch da nur bei Panofsky & Phillips und Becker & Sauter], in der Tiefe das Verständnisses sind im Verlaufe dieser Historie Verluste zu beklagen. Einziges Lob gebührt Landau, der mit seinem eigenen Ansatz das inhärente Lokalitäts-Manko der Helmholtz’schen Herleitung aus der Welt schaffen konnte.

Typisch für makroskopische Herleitungen sind Ausdrücke, deren Gestalt dem Helmholtz’schen ähnelt.

Die Dispute im wissenschaftlichen Lager um den richtigen Ausdruck für die Kraft sind Legende. Hier konnte gezeigt werden, daß beide Darstellungen der ponderomotorischen Kraft für verallgemeinerte Clausius-Mosotti-Fluida in der Tat nur verschiedene Formulierungen ein und derselben Kraft sind. Und mit Recht hätte man am Vermögen der Physiker gezweifelt, wäre etwas anderes zu Tage getreten.

10.3 Eine Brücke

Sehen wir uns noch einmal rückblickend an, wie der Bau dieser Brücke von beiden Lagern ausgehend erfolgte:

• einerseits wurde das Landau-Modell
  • zeitabhängig verallgemeinert und
  • auf das verallgemeinerte Clausius-Mosotti-Fluid spezialisiert
• andererseits wurde das de Groot-Modell
  • auf alle Multipol-Ordnungen erweitert und
  • auf das verallgemeinerte Clausius-Mosotti-Fluid spezialisiert

.

Dies brachte folgende Ergebnisse zutage:

• die Verallgemeinerung des Landau-[Helmholtz-]Modells auf zeitlich periodische Felder [unter Berücksichtigung der kinetischen Energie des im betrachteten Volumenelemento eingeschlossenen Ensembles schwingender Multipol-Oszillatorum] zeigte, bis auf eine [noch zu diskutierende] Korrektur, daß die Helmholtz-Formel auch aus mikroskopischer Sicht zeitabhängig gültig ist.
• der aus dem de Groot-Modell resultierende Ausdruck für die ponderomotorische Kraftdichte bleibt auch bei der auf alle Multipol-Ordnungen erweiterten Rechnung formal unverändert, wenn die Formelzeichen richtig interpretiert werden.
• die Spezialisierung des de Groot’schen Modells auf das verallgemeinerte Clausius- Mosotti-Fluid zeigt, daß der de Groot’sche Ausdruck für die ponderomotorische Kraftdichte unverändert bleibt, wenn hierbei die Clausius-Mosotti-Felder statt der externen Felder eingesetzt werden.
• das de Groot’sche Modell bleibt in der hier praktizierten Spezialisierung auf das verallgemeinerte Clausius-Mosotti-Fluid einfach und praktikabel, obwohl einzugestehen ist, daß die Art, wie hier auf den Clausius-Mosotti-Fall spezialisiert wurde, dem de Groot’schen Ansatz insofern seine ursprüngliche erkenntnistheoretische Reinheit raubte, als nun schon auf mikroskopischer Ebene mit dem gemittelten Feld der Nachbar- Multipole hantiert wird. Dies wird eine im allgemeinen Fall inkorrekte Behandlung sein, die das inhärente Risiko birgt, Fluktuationseffekte zu unterschlagen.
• für das verallgemeinerte Clausius-Mosotti-Fluid sind die [auf das elektrische Feld zurückzuführenden] Kraftdichten nach Kelvin und Helmholtz [wenigstens im statischen Fall] äquivalent.
• der aus der zeitabhängigen Verallgemeinerung des Landau-Modells resultierende Zusatz-Term widerspricht der Erwartung, daß der Helmholtz’sche und der Kelvin’sche Kraft-Ausdruck auch im zeitabhängigen Fall übereinstimmen:
  denn
  • einerseits läßt die de Groot’sche Betrachtung keinen Zweifel daran, daß der Kelvin- de Groot’sche Ausdruck uneingeschränkt zeitabhängig gültig ist.
  • andererseits sollte mit unserem Satz von der Äquivalenz (des Helmholtz- und des Kelvin-)Ausdrucks der Kraftdichte auf das verallgemeinerte Clausius-Mosotti- Fluid auch der Helmholtz-Ausdruck im zeitabhängigen Fall unverändert gelten.

  Zur Klärung der Herkunft dieses unerwarteten Zusatztermini sollte man folgende Hypothesen diskutieren:

  • wir haben in der Landau’schen Verallgemeinerung das für zeitabhängige Phänomene nicht per se zu vernachlässigende B-Feld unterschlagen. Es könnte unseren Zusatzterminum kompensieren.
  • entgegen den Darstellungen von Becker & Sauter [BS69b], §24, oder detaillierter Born [Bor81], §74, spielt die [für die im Medio verringerte Lichtgeschwindigkeit verantwortliche] zeitliche Retardierung der Felder der Nachbaratome doch eine Rolle.

.

10.4 Eine Krücke

wird in gewisser Hinsicht wohl bleiben müssen die hier demonstrierte Variante des Fremdwort- Gebrauchs.

Führen wir uns einige diskutable Möglichkeiten des Gebrauchs von Fremdworten vor Augen:

• man beläßt Fremdworte gänzlich originär, d.h. man konjugiert und dekliniert sie gemäß den Regeln ihrer Ursprungssprache. Dies setzt beim Autori weitgehende Sprachperformanz all der Ursprungssprachen voraus, aus denen er Fremdworte rekrutiert¹. Vom Leser wird die entsprechende Sprachkompetenz oder wenigstens Lernbereitschaft vorausgesetzt.
• man ergreift muttersprachlichen Besitz von Fremdworten[, macht sie also zu Lehnworten,] und konjugiert und dekliniert sie nach den Regeln der eigenen Sprache. Diese Variante wird von Nationibus wie Frankreich oder der Türkei praktiziert. Sowohl vom Leser wie auch vom Autori werden nur die muttersprachlichen Fertigkeiten erwartet. Es wird aber nur von [gebildeten] Menschen, die sowohl der jeweiligen Ursprungssprache als auch der Muttersprache mächtig sind, zu erwarten sein, daß sie ein Regelwerk ersinnen und praktizieren, nach dem Fremdworte zu importieren sind. Frankreich hält sich hierzu im Rahmen der Academie Francaise einen Stab von Sprachexperten, die diesen Dienst erbringen. Dies korrespondiert mit dem allgemein eher zentralistischen Habitui Frankreichs.
• rekrutiert man Fremdworte nur aus einer Ursprungssprache, bliebe die Möglichkeit, sich gänzlich der Ursprungssprache zu bedienen. Dies war noch bis ins 19. Jahrhundert hinein üblich, führte aber zu einer Art Herrschaftssprache mit der Folge der Ausgrenzung der nicht-dieser-Sprache-Kundigen. Dies ist wohl die aristokratischste der hier diskutierten Varianten.
• man benutzt Fremdworte gemäß der momentanen deutschen Praxis und dekliniert nur den Numerum. Das dürfte die volxnächste dieser Varianten sein. Es ist aber auch die inkonsequenteste.

Anhang A
Linguistische Ergänzung

A.1 Arithmetischer Ausdruck

Im Zusammenhang mit arithmetischen Ausdrücken wurden die Namen verschiedener Nicht-Terminale verwendet, deren syntaktische Rollen im Rahmen folgenden Produktionensystems¹ präzisiert seien:

Anhang B
Mathematische Ergänzungen

B.1 Beweis zu Satz 6.1

Wir können den Satz um den Preis, den Indicem für die Nummer der Ladung innerhalb eines Atoms mitnotieren zu müssen, sogar noch schärfer, nämlich für jede einzelne Ladung, formulieren:

Den Beweis führen wir mittels vollständiger Induktionis:

B.1.1 n = 0

Für n = 0 wird offensichtlich, mit , der Definitioni für elektrische Monopole ((5.12a)), der Ladungserhaltung , der nullten Ableitung und der Nicht-Existenz magnetischer Monopole ((5.13a)),

B.1.2 nn + 1

Angenommen, der Satz gelte für n,

Dazu multiplizieren wir zunächst beiderseits mit r_bd^h_h

B.1.2.1 Drei kleine Helferlein

Um den weiteren Lösungsweg zu zergliedern, behelfen wir uns dreier Lemmata

1. Lemma
   

   Beweis
   Hier kommt nichts weiter zum Zuge als die Normierung der r-Dyade gemäß Definitioni (5.12)
   _

2. Lemma
   

   Beweis

   
   _
3. Lemma
   

   Beweis

   
   __

Wir substitu¨ieren nun in den einzelnen Terminis von (B.4) die entsprechenden Faktores durch die rechten Seiten unserer Lemmata:

.

B.1.2.2 Garbage Annihilation

Nun trachten wir noch danach, uns der Richtigkeit der Behauptung

Hierzu bemühen wir die alte a × (b × c) = (b(ac) - c(ab))-Identität, die [etwas umgestellt] in Komponenten

B.1.2.3 Finale

Subtrahieren wir nun (B.11) von (B.10), dividieren durch den omnipräsenten Faktorem n+2 und wenden die Produktionem (n)h ::= (n+1) an, dann zeigt sich unsere Gleichung in der Form

_

Anhang C
Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik

An verschiedenen Stellen trifft man in der physikalischen Theorie Strukturen mit total- antimetrischem Produkt an, z.B. den Vertauschungsrelationibus der Quantenmechanik oder den Poisson-Klammern der klassischen Mechanik.

Wir werden in diesem Abschnitt sehen, daß dies kein Zufall ist und uns ein solches Produkt quasi zwangsläufig begegnen muß.

C.1 Symmetrien

Üblicherweise betten wir Physiker unsere Modelle in ein einmal gewähltes [oft kartesisches] Koordinatensystem in der Raum-Zeit ein. Da die Natur sich aber keineswegs danach richtet, wie uns belieben, unser Koordinatensystem zu legen, besitzt unser Koordinatensystem Freiheiten, die die Natur nicht auszuschöpfen gedenkt. Mit anderen Worten: weil der Beschreibungsvorrat unseres Modells über die Bewegungsmöglichkeiten der Natur hinausgeht, sehen wir in unserem Modell Symmetrien relativ zur Natur.

• Zunächst haben wir (was die Raum-Zeit betrifft) in einem isotropen Raum mit konstanter Lichtgeschwindigkeit die Wahl eines Skalierungsfaktoris frei. Die Konsequenzen freier Skalierungsfaktorum auf eine physikalische Theorie zu untersuchen, ist Domäne der Dimensionsanalyse (siehe z.B. [Gör75]).
• Weiterhin können wir unser Koordinatensystem in jeder der vier Raumrichtungen verschieben (transferieren), ohne daß die Qualität unseres Modells, die Natur zu beschreiben, sich ändert.
• Wir können das Koordinatensystem in allen drei Richtungen um die Zeit-Achse drehen.
• Wir können das Koordinatensystem sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen lassen.
• Wir können die Zeit-Achse spiegeln.
• Wir können die Orientierung der räumlichen Hyperebene invertieren, d.h. eine oder drei Raumachsen spiegeln.

Jeder dieser Symmetrien entspricht als Symmetrie-Gruppe jeweils eine bestimmte Untergruppe der Poincaré-Gruppe.

Die Willkür in der Wahl unseres Koordinatensystems sieht so aus, daß es ganze Klassen äquivalenter Koordinatensysteme gibt, die jeweils dieselbe Physik beschreiben. Mit der Existenz von Äquivalenzklassen eindeutig verknüpft ist immer eine Äquivalenzrelation. Diese Äquivalenzrelation ist in unserem Falle die Invarianz gegen die Operationem von Elementis einer Lie’schen-Transformationsgruppe nämlich der vollen Poincaré-Gruppe. Das heißt, die Äquivalenzklassen sind die Orbits¹ eines beliebigen Koordinatensystems unter der vollen Poincaré-Gruppe.

Nach dem bisher Gesagten ist klar, daß jede, nach den Voraussetzungen des ersten Abschnitts konstru¨ierte, physikalische Theorie zwangsläufig die entsprechenden Symmetrien birgt, ob man sie nun offenlegt oder nicht. Versucht man diese Offenlegung unter direkter Zuhilfenahme kontinuierlicher Gruppen, dann handelt man sich unmittelbar ein, als adäquate mathematische Theorie die Analysis auf Mannigfaltigkeiten handhaben zu müssen. Zur großen Vereinfachung hat die Untersuchung kontinu¨ierlicher [Lie’scher] Gruppen gezeigt, daß man ohne wesentlichen Informationsverlust, die topologischen Eigenschaften Lie’scher -Gruppen gegen algebra¨ische eintauschen kann². Diese Korrespondenz ist keine 1:1-Korrespondenz. Vielmehr sind Lie-Gruppen eindeutig als direktes Produkt einer diskreten Gruppe mit einer einfach-zusammenhängenden topologischen Gruppe darstellbar und es existiert eine 1:1-Korrespondenz zwischen dem mit dem Gruppen-Einheits- Elemento einfach-zusammenhängenden Teil und der Lie-Algebra. Am Beispiel einer Koordinaten- Transformationis entlang einer “geraden” Linie (in dem Sinne, daß man nur einen Parameter t der Gruppe vari¨iert) durch die Transformationsgruppe, ist diese Korrespondenz eine Exponentialfunktion:

(C.1)

Damit hat man nun die Brücke von den Transformations-[Lie-]Gruppen, die die Symmetrien unserer physikalischen Modelle beschreiben, zu den Lie-Algebren geschlagen. Der große Gewinn beim Übergang von den Lie-Gruppen zu den Lie-Algebren besteht darin, daß man sozusagen die topologischen Eigenschaften der Gruppe gegen die Operationem der Algebra eintauscht, mit der sich dann viel leichter rechnen läßt.

Literatur